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(2006•长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x,y=-x+6的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S.
(1)求点A的坐标.
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式.
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由.
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是______
【答案】分析:(1)因为两个函数y=x,y=-x+6的图象交于点A,所以将两个函数的解析式联立,得到方程组,解之即可;
(2)因为点P在直线OA即y=x上以每秒1个单位的速度运动,所以OP=t,而OA是第一、三象限坐标轴夹角的平分线,所以点P坐标为,又因PQ∥x轴交直线BC于点Q,所以可得点Q的纵坐标为,并且点Q在y=-x+6上,因此可得到关于x、t的关系式,经过变形可用t表示x,即得到点Q坐标为,当重叠部分是正方形时,分情况代入面积公式中求解;
(3)结合(2)中的关系式可知有最大值,并且最大值应在中,利用二次函数最值的求法就可得到S的最大值为12;
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,B的坐标为(12,0),并且有PB⊥OB,PB=OB=12,所以OP=12,即t≥12
解答:解:(1)由可得
∴A(4,4);

(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为
点Q的纵坐标为,并且点Q在y=-x+6上,

即点Q坐标为
时,
时,
当点P到达A点时,
时,
=

(3)有最大值,最大值应在中,

时,S的最大值为12;

(4)当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积正好最大时,此时重合部分就是△AOB,
∵B的坐标为(12,0),PB⊥OB,
∴PB=OB=12,
∴OP=12
∴t≥12
点评:解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
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(1)求正方形ABCD的边长;
(2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(s)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图2所示),求P,Q两点的运动速度;
(3)求(2)中面积S(平方单位)与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标;
(4)若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时,能使∠OPQ=90°吗?若能,直接写出这样的点P的个数;若不能,直接写不能.

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(1)求正方形ABCD的边长;
(2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(s)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图2所示),求P,Q两点的运动速度;
(3)求(2)中面积S(平方单位)与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标;
(4)若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时,能使∠OPQ=90°吗?若能,直接写出这样的点P的个数;若不能,直接写不能.

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