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(1999•成都)已知:如图,AB和AC与⊙O相切于B、C,P是⊙O上一点,且PE⊥AB于E,PD⊥BC于D,PF⊥AC于F.
求证:PD2=PE•PF.

【答案】分析:先连接PB、DE,以及连接PC、DF,根据DP⊥BC,PE⊥AE,可证四点P、D、B、E共圆,同理,四点P、D、C、F共圆,可利用圆周角的性质,分别得出两组角相等,结合弦切角的性质,也可得出两组角相等,利用等量代换,可证∠1=∠2,∠PED=∠PDF,从而可证三角形相似,再利用相似三角形的性质,可得比例线段,那么此题得证.
解答:证明:
∵PE⊥AB于E,PD⊥BC于D,PF⊥AC于F,
∴四点D、B、E、P共圆,四点C、D、P、F共圆,(2分)
连接PB、DE则∠1=∠3,∠5=∠PED,(1分)
连接PC、DF,则∠2=∠4,∠6=∠PDF,(1分)
∵AB、AC是⊙O的切线,B、C是切点,
∴∠3=∠4,∠5=∠6.(1分)
∴∠1=∠2,∠PED=∠PDF.(1分)
∴△PED∽△PDF.(1分)
=,即PD2=PF•PE.(1分)
点评:本题利用了切线的性质、弦切角的性质、四点共圆的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识.
练习册系列答案
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(3)在(2)的条件下,若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C,与x轴的左交点为A,试在直线y=x上求异于M的点P,使点P在△CMA的外接圆上.

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