Question

12．如图，直线y₁=kx-$\frac{3}{2}$（k≠0）与双曲线y₂=$\frac{m}{x}$交于点C、D，与x轴交于点A，
（1）求m的取值范围和点A的坐标；
（2）过点C作CB⊥y轴于点B，若S_△ABC=$\frac{3}{2}$，求双曲线的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，若AB=$\sqrt{10}$，求点C和点D的坐标，并根据图象直接写出y₁＞y₂时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数图象位于第二、四象限，得到比例系数m＜0，对于直线解析式，令y=0求出x的值，确定出A的坐标即可；
（2）设C（a，b），表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积列出关于a与b的关系式，利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值，确定出反比例解析式；
（3）由CB垂直于y轴，得到B，C纵坐标相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB与OA的长，利用勾股定理求出OB的长，确定出B坐标，进而确定出C坐标，将C代入直线解析式求出k的值，确定出一次函数解析式，与反比例解析式联立求出C、D的坐标，由C，D两点的横坐标，利用图象即可求出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．

解答 解：（1）由图象得：m＜0，
由y=kx+k，令y=0，解得：x=-1，
则A坐标为（-1，0）；

（2）设C（a，b），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$a•（-b）=$\frac{3}{2}$，
∴ab=-3，
∵点C在双曲线上，
∴y=-$\frac{3}{x}$；

（3）∵CB⊥y轴，∴B（0，b），
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{10}$，OA=1，
根据勾股定理得：OB=3，
∴B（0，-3），
∴C（1，-3），
将C代入直线y=kx+k中，得：k+k=-3，即k=-$\frac{3}{2}$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
联立直线与反比例解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴C（1，-3），D（-2，$\frac{3}{2}$），
则由图象可得：当x＜-2或0＜x＜1时，y₁＞y₂．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．