Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0．其中正确结论的个数是    个．

Answer 1

【答案】分析：本题依据二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．
解答：解：①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax²+bx+c与X轴的交点坐标为（-2，0）得：
a×（-2）²+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0，
所以正确；
②由图象开口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
则该抛物线的对称轴为，即＜1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，对称轴x=-＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正确；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，
④由4a-2b+c=0得，而0＜c＜2，∴∴-1＜2a-b＜0∴2a-b+1＞0，所以结论正确．
故填正确结论的个数是4个．
点评：规律总结：4a-2b+c=0是否成立，也就是判断当x=-2时，y=ax²+bx+c的函数值是否为0；判断y=ax²+bx+c中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a＞0，开口向下a＜0；判断a、b的小关系时，可利用对称轴的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系的值的范围来判断；2a-b+1的值情况可用4a-2b+c=0来判断．