Question

15．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC=∠AEC；④AF=DF；⑤△CEF≌△BED；⑥BD=2OF．其中一定成立的是（请填序号）①②④⑥．

Answer 1

分析 ①由直径所对圆周角是直角，
②由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC=∠DBC，
③由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等；
⑥用三角形的中位线得到结论．

解答 解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
故①正确；
②∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
故②正确；
③∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
∴∠AOC≠∠AEC，
故③不正确；
④∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=90°，
∵点O为圆心，
∴AF=DF，
故④正确；
⑤∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，
故⑤不正确；
⑥由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF，
故⑥正确；
综上可知：其中一定成立的有①②④⑥，
故答案为：①②④⑥

点评 本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．