Question

18．当-1≤x≤2时，二次函数y=x²+2kx+1的最小值是-1，则k的值可能是$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求抛物线的对称轴为：x=-k，分三种情况讨论：①当-k＜-1时，此时-1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，x=-1所对应的y就是其最小值，列式可求得k的值；②当-1≤-k≤2时，x=-k所对应的y就是其最小值，列式可求得k的值；③当-k＞2时，此时-1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以x=2时所对应的y就是其最小值，同时可求得k的值；最后写出结论．

解答 解：对称轴：x=-$\frac{2k}{2}$=-k，
分三种情况讨论：
①当-k＜-1时，即k＞1时，
此时-1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，y有最小值，y_小=（-1）²+2k×（-1）+1=-1，
k=$\frac{3}{2}$，
②当-1≤-k≤2时，即-2≤k≤1，
对称轴在-1≤x≤2内，此时函数在-1≤x≤-k，y随x的增大而减小，
在-k≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=-k时，y有最小值，y_小=（-k）²+2k•（-k）+1=-1，
k²-2k²+2=0，
k²-2=0，
k=$±\sqrt{2}$，
∵-2≤k≤1，
∴k=-$\sqrt{2}$，
③当-k＞2时，即k＜-2，
此时-1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y有最小值，y_小=2²+2k×2+1=-1，
k=-$\frac{3}{2}$（舍），
综上所述，k的值可能是$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）：①当a＞0时，抛物线有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y_小=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；②当a＞0时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随x的增大而减小；③如果自变量x在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．