Question

如图1，圆O₁与圆O₂都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O₁交于点C，与圆O₂交于点D．经过点B的直线EF与圆O₁交于点E，与圆O₂交于点F．

（1）求证：CE∥DF；
（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时（如图2），过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与圆O₁的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：连接AB；
∵四边形ABEC是⊙O₁的内接四边形，
∴∠BAD=∠E．
又∵四边形ADFB是⊙O₂的内接四边形，
∴∠BAD+∠F=180°．
∴∠E+∠F=180°．
∴CE∥DF．

（2）MN与⊙O₁相切，
过E作⊙O₁的直径EH，连接AH和AB；
∵MN∥DF，
∴∠MEA=∠D．
又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE，
∴∠MEA=∠AHE．
∵EH为⊙O₁的直径，
∴∠EAH=90°．
∴∠AHE+∠AEH=90°．
∴∠MEA+∠AEH=90°．
又∵EH为⊙O₁的直径，
∴MN为⊙O₁的切线．