Question

如图，在△ABC中，AC=BC，CH⊥AB于H，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP，BP分别与BC，AC交于点E，F．
（1）求证：AE=BF；
（2）以线段AE，BF和AB为边构成一个新三角形ABG（点E，F重合于点G），将△ABG和△ABC的面积分别记为S_△ABG和S_△ABC，如果存在点P使得S_△ABG=S_△ABC，求∠ACB的取值范围．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰△，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．
∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，
∴△ACE≌△BCF．
∴AE=BF．

（2）由（1）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S_△ABC=S_△ABG．
∴AE=AC．
①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠ACB为锐角时，∠A=90°-∠ACB，而∠CAE＜∠A，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，
此时，∠CAE=180°-2∠ACB，
只须180°-2∠ACB＜90°-∠ACB，解得60°＜∠ACB＜90°．
（也可在△CEA中通过比较∠C和∠CEA的大小而得到结论）
分析：（1）证得△ACP≌△BCP，然后根据全等三角形的对应角相等、等量代换知∠CAE=∠CBF，再来证得△ACE≌△BCF；最后由全等三角形的对应边相等证明AE=BF；
（2）∠C的取值应按直角，锐角，钝角分情况进行讨论．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．需注意已证得条件在以后证明中的应用，以及分情况进行讨论等情况．