Question

如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为一上两点，经过点、、的抛物线的一部分与经过点、的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点的坐标为，点是抛物线的顶点．

（1）求、两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当为直角三角形时，求的值．

Answer 1

（1）A（-1，0）、B（3，0） （2）S_△PBC最大值为．（3）m=-1或m=

解析试题分析：(1)解：令y=0,则   ∵m＜0，∴    
解得： ．
∴A（-1，0）、B（3，0）．
（2）存在．                                                            
∴
设P（n, ）
∴ S_{四边形BOCP}= S_△POC + S_{四边形BOCP} -S_△BOC =              
∵a=<0, ∴当n=时,S_△PBC最大值为．
（3）由C₂可知： D（0，-3m）, M(1,-4m) , B(3,0)
BD²=, BM²= , DM²= ,                
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况．
当∠BMD=90°时，BM²+ DM²= BD²，+=
解得：m₁=, m₁=(舍去)
当∠BDM=90°时，BD²+ DM²= BM²，+=
解得：m₁= -1, m₁="1" (舍去)
综上 m=-1或m=时，△BDM为直角三角形
考点：抛物线
点评：本题考查抛物线，会用配方法求最值，会解一元二次方程是解答本题的关键，抛物线是中考的必考内容，此题难度较大