Question

17．如图1，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△POQ．当Q坐标为（m，1）时，试判断点P是否在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到OB=$\sqrt{5}$，得到OA=2$\sqrt{5}$，过A作AC⊥x轴于C根据三角函数的定义得到$\frac{AC}{OC}$=tan∠AOC=tan∠AOC=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，设A（2m，m根据勾股定理得到m=1，求得A（2，4）于是得到结论；
（2）由（1）知，OQ=OB=$\sqrt{5}$，根据勾股定理得到m=-2，求得Q（-2，1），过Q作QM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N，根据相似三角形的性质得到$\frac{ON}{PN}=\frac{QM}{OM}$=$\frac{1}{2}$，设P（t，2t），根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∵OA=2OB，AB=5，
∴OB²+（2OB）²=5²，
解得：OB=$\sqrt{5}$，
∴OA=2$\sqrt{5}$，
过A作AC⊥x轴于C，
∵AB∥x轴，
∴∠BAO=∠AOC，
∴$\frac{AC}{OC}$=tan∠AOC=tan∠AOC=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴设A（2m，m），
∴m²+（2m）²=OA²=20，
∴m=1，
∴A（2，4），
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{8}{x}$（x＞0）；

（2）由（1）知，OQ=OB=$\sqrt{5}$，
∴m²+1²=（$\sqrt{5}$）²，
∴m=-2，
∴Q（-2，1），
过Q作QM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N，
则△OQM∽△PON，∴$\frac{ON}{PN}=\frac{QM}{OM}$=$\frac{1}{2}$，
设P（t，2t），
∴t²+（2t）²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴t=2，
∴P（2，4），
∵2×4=8，
∴点P在函数的图象上．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．