Question

2．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD交BD于点O，且BO=DO，OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若BA=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）想办法证明：Rt△OBE≌Rt△ODC，即可解决问题；
（2）只要证明OB=OD，OC=OA即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AC平分∠BAD，OE⊥AB，OF⊥AD，
∴OE=OF，
在Rt△OBE和Rt△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBE≌Rt△ODC，
∴∠OBE=∠ODF，
∴AB=AD．

（2）∵Rt△OBE≌Rt△ODC，
∴OB=OD，
∵AB=AD，
∴BO⊥AC，
∵BA=BC，
∴OC=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定．角平分线的性质．全等三角形的判定和性质．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．