如图,⊙M与x轴交于A、B两点,其坐标分别为A(-3,0),B(1,0),直径CD垂直于x轴于N,直线CE切⊙M于C,直线FG切⊙M于F,交CE于G,已知点G的横坐标为3.
(1)若抛物线y=-x2-2x+m经过A、B、D三点,求m的值及点D的坐标;
(2)求直线DF的解析式;
(3)是否存在过点G的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.
(1)∵抛物线y=x2+2x+m过A、B两点.∴-3×1=-m,m=3,∴抛物线为y=-x2-2x+3,又抛物线过点D,由圆的对称性知点D为抛物线的顶点,∴D点的坐标为(-1,4); (2)由题意知AB=4,∵CD⊥x轴,∴NA=NB=2,∴ON=1,由相交弦定理得NA·NB=ND·NC,∴NC×4=2×2,NC=1,∴C点的坐标为(-1,-1),又CE切⊙M于C,∴CE⊥CD,又CD⊥x轴,∴CE∥x轴,∴G点坐标为(3,-1),设直线DF交CE于P,连结CF,得∠CFP为,∴∠2+∠3=∠1+∠4=,∵CG、FG为⊙M切线,∴CG=FG,∠3=∠4,∴∠1=∠2,∴FG=GP,∴GC=GP,可得CP=8,∴P点的坐标为(7,-1),设直线的解析式为y=kx+b,(k≠0)则,解得,∴直线DF的解析式为y=-x+ ; (3)假设存在过点G的直线为y=k1x+b1,则3k1+b1=-1,∴b1=-3k1-1解方程组,得x2+(2+k1)x-4-3k1=0,由题意得-2-k1=4,∴k1=-6,当k1=-6时,△=-40<0,∴方程无实数解,∴方程组无实数解,∴满足条件的直线不存在 |
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