Question

（2009•黔南州）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B，且其面积为8，F点的坐标为（2，2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：根据点F的坐标求出EF的长，再根据矩形的面积求出CF的长，然后求出点C的坐标，再设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
方法二：设抛物线的顶点式形式为y=ax²+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）①过点B作BN⊥PS于N，根据点P在抛物线上设点P的坐标为（a，

1

4

a²+1），然后表示出PS、OB、BN，再根据图形求出PN=PS-NS，在Rt△PNB中，利用勾股定理列式表示出PB²，然后求出PB，从而得证；
②方法一：设PS=b，QB=c，利用勾股定理列式求出SR=2

bc

，假设存在点M，且MS=x，表示出MR=2

bc

-x，然后分△PSM和△MRQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到点M为SR的中点；△PSM和△QRM相似时，利用相似三角形对应边成比例列式求解得到x=

2b bc

b+c

，然后求出

MR

MS

=

QB

BP

=

RO

OS

，从而得到点M与原点O重合；
方法二：根据∠PSM=∠MRQ=90°，分△PSM和△MRQ相似时，根据相似三角形对应角相等可得∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM，再根直角三角形的性质求出∠PMQ=90°，取PQ的中点为N，连接MN，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半表示出MN=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS），从而判定MN为梯形SRQP的中位线，得到点M为SR的中点；△PSM和△QRM相似时，根据相似三角形对应边成比例可得

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

，再根据

QB

BP

=

RO

OS

，可得点M与原点O重合．

解答：解：（1）方法一：∵F点坐标为（2，2），
∴EF=2，
∵矩形CDEF的面积为8，
∴CF=4，
∴点C的坐标为（-2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，其过三点A（0，1），C（-2，2），F（2，2），
所以，

c=1 4a-2b+c=2 4a+2b+c=2

，
解得

a= 1 4 b=0 c=1

，
所以，此函数解析式为y=

1

4

x²+1；

方法二：设抛物线的解析式为y=ax²+c，其过点A（0，1）和F（2，2），
所以，

c=1 4a+c=2

，
解得

a= 1 4 c=1

，
所以，此函数解析式为y=

1

4

x²+1；

（2）①过点B作BN⊥PS于N，
∵P点在抛物线y=

1

4

x²+1上，可设点P（a，

1

4

a²+1），
∴PS=

1

4

a²+1，OB=NS=2，BN=|a|，
∴PN=PS-NS=

1

4

a²+1-2=

1

4

a²-1，
在Rt△PNS中，PB²=PN²+BN²=（

1

4

a²-1）²+（|a|）²=（

1

4

a²+1）²，
∴PB=

1

4

a²+1，
∵PS=

1

4

a²+1，
∴PB=PS；

②方法一：设PS=b，QR=c，
由①知，PS=PB=b，QR=QB=c，PQ=b+c，
∴SR²=（b+c）²+（b-c）²，
∴SR=2

bc

，
假设存在点M，且MS=x，则MR=2

bc

-x，
若使△PSM∽△MRQ，则有

b

x

=

2 bc -x

c

，
即x²-2

bc

x+bc=0，
解得x₁=x₂=

bc

，
∴SR=2

bc

，
∴点M为SR的中点；
若使△PSM∽△QRM，则有

b

x

=

c

2 bc -x

，
∴x=

2b bc

b+c

，
∴

MR

MS

=

2 bc -x

x

=

2 bc

2b bc b+c

-1=

c

b

=

QB

BP

=

RO

OS

，
∴M点为原点O；
综上所述，点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；点M为原点时△PSM∽△QRM；

方法二：若以P、S、R为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴分△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，
△PSM∽△MRQ时，∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM，
根据直角三角形两锐角互余可得，∠PMS+∠SMR=90°，
∴∠PMQ=90°，
取PQ的中点N，连接MN，则MN=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS），
∴MN为梯形SRQP的中位线，
∴M为SR的中点；
△PSM∽△QRM时，

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

，
又∵

QB

BP

=

RO

OS

，
∴点M与点O重合，
综上所述，点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；点M为原点时△PSM∽△QRM．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，以及相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，难度较大，求点M的位置时要注意根据相似三角形对应边的不同分情况进行讨论．