Question

如图，抛物线y=-

1

3

x²+（6-

m2

）x+m-3与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），交y轴于C点，且x₁+x₂=0．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程．
（2）在抛物线上是否存在一点P使△PBC≌△OBC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据x₁+x₂=0，可得出抛物线的对称轴为y轴即x=0，由此可求出m的值．进而可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可得出其顶点坐标和对称轴方程．
（2）如果△PBC≌△OBC，由于△OBC是等腰直角三角形，那么P有两种可能：①P，O重合；②P与O关于直线BC对称，而这两种P点均不在抛物线上，因此不存在这样的P点．

解答：解：（1）m=±6，
∵抛物线与y轴交于正半轴上，
∴m=6．
抛物线解析式y=-

1

3

x²+3，
∴抛物线顶点坐标C（0，3），抛物线对称轴方程x=0．

（2）B点坐标为（3，0）．
假设存在一点P使△PBC≌△OBC．
因为△OBC是等腰直角三角形，BC是公共边，
故P点与O点必关于BC所在直线对称．点P坐标是（3，3）．
当x=3时，y≠3，即点P不在抛物线上，
所以不存在这样的点P，使△PBC≌△OBC．

点评：本题主要考查了二次函数的性质、二次函数解析式的确定以及全等三角形的判定等知识点．