Question

19．如图，已知直线y=mx+4与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，且OD=2OC，点A的纵坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）请直接写出不等式$\frac{k}{x}$-mx-4＞0的解集．
（3）若点P（a，b）在线段AC上，过点P作x轴的平行线与反比例函数图象交于点E，当△PCE的面积为3时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）首先确定点D坐标（0，4），根据OD=2OC，求出点C坐标，求出直线CD的解析式，再求出点A坐标即可解决问题；
（2）先求得点B坐标，根据图象直接得出不等式$\frac{k}{x}$-mx-4＞0的解集即可；
（3）由P（a，b），推出E（-$\frac{6}{b}$，b），PE=a+$\frac{6}{b}$，由题意$\frac{1}{2}$•（a+$\frac{6}{b}$）•b=3 ①，又因为b=-2a+4 ②由①②可以得到$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=4}\end{array}\right.$．

解答 解：（1）由题意D（0，4），
∴OD=4，
∵OD=2OC，
∴OC=2，
∴C（2，0），
把C（2，0）代入y=mx+4，得到2m+4=0，
∴m=-2，
∴直线的解析式为y=-2x+4，
当y=6时，6=-2x+4，
∴x=-1，
∴A（-1，6），
∴k=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$．

（2）联立列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y-2x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴B（3，-2），
由图象得，当-1＜x＜0或x＞3时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$-mx-4＞0的解集为-1＜x＜0或x＞3；
（3）如图，PE∥OC，
∵P（a，b），
∴E（-$\frac{6}{b}$，b），PE=a+$\frac{6}{b}$，
由题意$\frac{1}{2}$•（a+$\frac{6}{b}$）•b=3 ①，
又因为b=-2a+4 ②
由①②可以得到$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴a=0．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．