Question

12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=$\frac{1}{2}$BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，求出BD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，即可得出CE的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，
∵E是BD中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD=BE，
∴∠BCE=∠CBE=∠A，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
即∠OCE=90°，CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵tanA=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．