Question

14．【阅读发现】如图①，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且DE=BD，可知AB=CE．
【类比探究】如图②，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．判断AF与BE的数量关系，并加以证明．
【推广应用】在图②中，若AB=4，BF=$\sqrt{2}$，则△AGE的面积为$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 【阅读发现】证明△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD，由SAS证明△ABD≌△CED，即可得出AB=CE；
【类比探究】由AAS证明△ABF≌△BCE，即可得出AF=BE；
【推广应用】由勾股定理求出BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，得出OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，求出OF=OB-BF=$\sqrt{2}$，由勾股定理得出AF=$\sqrt{O{A}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，由ASA证明△OBE≌△OAF，得出OE=OE=$\sqrt{2}$，求出AE=OA+OE=3$\sqrt{2}$，证明△AOF∽△AGE，得出对应边成比例求出GE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，AG=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，即可得出△AGE的面积．

解答 【阅读发现】解：∵AD⊥BC，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠ADB=∠CDE}&{\;}\\{BD=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴AB=CE；
【类比探究】解：AF=BE；理由如下：
∵正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠BAD=90°，∠ABF=∠BCE=45°，AC⊥BD，OA=OB=OC，
∵AG⊥BE，
∴∠FAD+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AEG=90°，
∴∠AFO=∠AEG，
∵∠AFB=∠FAO+90°，
∴∠AFB=∠BEC，
在△ABF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠BCE}&{\;}\\{∠AFB=∠BEC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCE（AAS），
∴AF=BE；
【推广应用】解：∵AB=AD=4，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵BF=$\sqrt{2}$，
∴OF=OB-BF=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由角的互余性质得：∠OAF=∠OBE，
在△OBE和△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠OAF}&{\;}\\{OB=OA}&{\;}\\{∠BOE=∠AOF=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OAF（ASA），
∴OE=OE=$\sqrt{2}$，
∴AE=OA+OE=3$\sqrt{2}$，
∵∠OAF=∠GAE，∠AOF=∠AGE=90°，
∴△AOF∽△AGE，
∴$\frac{OF}{GE}=\frac{OA}{AG}=\frac{AF}{AE}$，即$\frac{\sqrt{2}}{GE}=\frac{2\sqrt{2}}{AG}=\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，
解得：GE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，AG=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴△AGE的面积=$\frac{1}{2}$AG•GE=$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{10}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{5}$=$\frac{18}{5}$；
故答案为：$\frac{18}{5}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．