Question

如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：计算题,几何图形问题

分析：在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．

解答：解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中

OB=OC ∠OBG=∠OCF BG=CF

∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE=

BC2+CE2

=

62+22

=2

10

，
∵BC²=BF•BE，
则6²=BF•2

10

，解得：BF=

9 10

5

，
∴EF=BE-BF=

10

5

，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=

3 10

5

，
∴GF=BF-BG=BF-CF=

6 10

5

，
在等腰直角△OGF中
OF²=

1

2

GF²，
∴OF=

6 5

5

．
故答案为：

6 5

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用．