Question

【题目】如图，C为线段AE上一点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，连接AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、OC，以下四个结论：①△BOC≌△EDO；②DE＝DP；③∠AOC＝∠COE；④OC⊥PQ．其中正确的结论有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】A

【解析】

证明△ACD与△BCE全等，可得∠CAD＝∠CBE，得出∠AOE＝120°，作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，证明△ACG≌△BCH（AAS），得出CG＝CH，证出OC平分∠AOE，∠AOC＝∠COE，③正确；证出∠BOC≠∠EDO，得出△BOC与△EDO不全等，①错误；证明△ACP≌△BCQ（ASA），得出AP＝BQ，PC＝QC，可推出DP＝EQ，再根据△DEQ的角度关系DE≠DP，可得②错误．证出PQ∥AE，推出OC与AE不垂直，得出OC与PQ不垂直，④错误；即可得出答案．

解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD与△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∴∠AOB＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEB＝∠ACB＝60°，

∴∠AOE＝120°，

作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，如图所示：

在△ACG和△BCH中，，

∴△ACG≌△BCH（AAS），

∴CG＝CH，

∴OC平分∠AOE，

∴∠AOC＝∠COE，③正确；

∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝120°，∠DOC＝∠DOQ+∠COE＝120°，

∴∠ODC+∠OCD＝60°，

∴∠ODC＜60°，

∴∠EDO＝∠CDE+∠ODC＜120°，

∴∠BOC≠∠EDO，

∴△BOC与△EDO不全等，①错误；

∵∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，

∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，

在△ACP与△BCQ中，，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP＝BQ，PC＝QC，

∵AD＝BE，

∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，

∴DP＝QE，

∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，

∴∠DQE≠∠CDE，故②错误．

∵PC＝QC，∠PCQ＝60°，

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠CPQ＝60°，

∴∠ACB＝∠CPQ，

∴PQ∥AE，

∵∠AOC＝60°，

当OC⊥AE时，∠OAC＝30°，

则AP平分∠BAC，

而AP不是∠BAC的平分线，

∴OC与AE不垂直，

∴OC与PQ不垂直，④错误；

正确的结论有1个，

故选：A．