Question

已知一次函数y=kx+m，二次函数y=2ax²+2bx+c和y=ax²+bx+c-1的图象分别为l、E₁、E₂，l交E₁于B、C两点，且满足下列条件：
I）b为整数．
II）B（2-2

2

，3-2

2

），C（2+2

2

，3+2

2

）．
Ⅲ）两个二次函数的最小值差为1．
（1）如l与E₂交于A、D两点，求|AD|值．
（2）问是否存在一点P，从P出发作一射线分别交E₁、E₂于P₁，P₂，使得PP₁：PP₂为常数，并简述你的理由．

Answer 1

分析：（1）把B、C点的坐标代入一次函数y=kx+m，得到m值，B、C坐标可知x_b和x_c之间的距离4

2

，A，D是E₂与l的交点，同理求得，x+m=ax²+bx+c-1，从而求得AD距离．
（2）由于l、E₁经过点A，求得点P₁，由点D过E₂得到点P₂，找到了两点即找到了，从而得到点P的存在．

解答：解：（1）把B、C点的坐标代入一次函数y=kx+m，
解得：k=1，m=1
∵B、C在E₁上，将B、C坐标代入其二次函数，
∴3-2

2

=2a（2-2

2

）²+2b（2-2

2

）+c
3+2

2

=2a（2+2

2

）²+2b（2+2

2

）+c
经化简得：8a+2b=1①
将E₁，E₂的函数是化简
y₁=

2a(x+ b 2a )2+c-b2

2a

所以y₁最小值=

c-b2

2a

y₂=

a(x+ b 2a )2+c-1-b2

4a

所以y₂最小值：c-1-

b2

4a

根据两个二次函数的最小差值为1
|c-

b2

2a

-（c-1-

b2

4a

）|=1
化简得到|1-

2b2

1-2b

|=1
再化简绝对值得到b=0（其中能够得出b²+2b-1=0，但是，要求b为整数，所以，此式舍去）
再根据上面我写的①式，得到a=

1

8

根据B、C坐标可知x_b和x_c之间的距离为4

2

应有
|x_b-x_c|=4根号2即（x_b-x_c）²=32②
因为y=x+m（之前得出了k=1），
y=2ax²+2bx+c的交点位B、C
有x+m=2ax²+2bx+c整理得2ax²+（2b-1）x+c-m=0
则x_b+x_c=4   ③
x_b×x_c=4（c-m）④
②③④整理化简得到m-c=1⑤
A，D是E₂与l的交点，所以，x+m=ax²+bx+c-1
再根据④式，化简整理得到ax²+（b-1）x-2=0
所以，x_a+x_d=（1-b）/a，x_a×x_d=-

2

a

所以，（x_a-x_d）²=(

1-b

a

)2-4(-

2

a

)
所以，得到|x_a-x_d|=8

2

，
即|AD|=8

2

；

（2）存在，
当m=k＞0时，

1

4

x2-

3

4

mx+k=x+m，
得x₁=0，x₂=3m+4＞0．
∴点A（0，m）．
显然，经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P₁（3m，m）．
又∵由题意，点P₂只能有一解，
再结合抛物线的对称性，可知点P₂只能重合于点D．
设DE与AP₁交于点G，
由DG=AG，即m-（k-

9

16

m2）=

3

2

m，
得m=

8

3

．
∴点P₁（8，

8

3

）、点P₂（4，-

4

3

）．
故存在点P．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．