Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若，，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

(1)连接AD，如图，根据圆周角定理，再根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

(2)作F做FH⊥AB于点H,利用余弦定义，再根据三角函数定义求解即可

(1)证明:如图，连接AD．

∵ E是中点，

∴．

∴ ∠DAE=∠EAB．

∵ ∠C =2∠EAB，

∴∠C =∠BAD.

∵ AB是⊙O的直径.

∴ ∠ADB=∠ADC=90°．

∴ ∠C+∠CAD=90°．

∴ ∠BAD+∠CAD=90°．

即 BA⊥AC

∴ AC是⊙O的切线．

(2)解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．

∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，

∴ FH=FD，且FH∥AC．

在Rt△ADC中，

∵，，

∴ CD=6．

同理，在Rt△BAC中，可求得BC= ．

∴BD= ．

设 DF=x，则FH=x，BF=-x．

∵ FH∥AC，

∴ ∠BFH=∠C．

∴．

即．

解得x=2．

∴BF=．