Question

11．已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．

（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；
（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；
（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接对角线OA、OB，证明△AOM≌△BON（ASA），则S_△AOM=S_△BON，所以S=S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×4=1；
（2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，连接OA、OB，同理证明△OAM≌△OBN，则S=S_△OBN+S_△OBM=S_△OAM+S_△OBM=S_△OAB，故S的大小不变；
（3）如图3，120°相当于两个中心角，可以理解为一个中心角连续旋转两次，由前两问的推理得，旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的$\frac{1}{n}$，则S是原正六边形面积的$\frac{1}{3}$；也可以类比（1）（2）证明△OAM≌△OBN，利用割补法求出结论；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，作辅助线构建全等三角形，同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等边三角形，则OM=PM=OP=ON=PN，根据四边相等的四边是菱形可得：四边形OMPN是菱形．

解答 解：（1）如图1，连接OA、OB，
当n=4时，四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠MON=∠α=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∴∠BON=∠AOM，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAM=∠ABO=45°，
在△AOM和△BON中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠ABO}\\{OA=OB}\\{∠AOM=∠BON}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴S_△AOM=S_△BON，
∴S_△AOM+S_△AON=S_△BON+S_△AON，
即S_{四边形ANDM}=S_△ABO=S，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S_{正方形ABCD}=2×2=4，
∴S=S_△ABO=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×4=1；

（2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，
理由如下：连接OA、OB，
则OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，
∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，
∴△OAM≌△OBN，
∴四边形OMBN的面积：S=S_△OBN+S_△OBM=S_△OAM+S_△OBM=S_△OAB，
故S的大小不变；
（3）猜想：S是原正六边形面积的$\frac{1}{3}$，理由是：
如图3，连接OB、OD，
同理得△BOM≌△DON，
∴S=S_△BOM+S_{四边形OBCN}=S_△DON+S_{四边形OBCN}=S_{四边形OBCD}=$\frac{1}{3}$S_{六边形ABCDEF}；

四边形OMPN是菱形，
理由如下：
如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，
连接OA、OB、OC、OD、PM、PN，
∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，
∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，
∴△OAM≌△OBP≌△OCN，
∴OM=OP=ON，
∴△OMP和△OPN都是等边三角形，
∴OM=PM=OP=ON=PN，
∴四边形OMPN是菱形．

点评 本题考查了正n边形的性质、全等三角形的性质和判定、正n边形的中心角、中心等定义以及旋转等知识，明确正n边形的中心角=$\frac{360°}{n}$，熟练掌握全等三角形的性质和判定，难度适中，本题还运用了类比的思想解决数学问题．