Question

4．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点P为BC的中点，连接EP，AD．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠B=30°，求P点到直线AD的距离．

Answer 1

分析 （1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）设P点到直线AD的距离为d，记△PAD的面积S_△PAD，根据三角形的面积得到d=$\frac{PD•AC}{AD}$  ①由勾股定理得BC=6$\sqrt{3}$，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出△OEA为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，将以上数据代入①得即可得到结论．

解答 （1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°．
∴∠BEC=90°．
∵点F为BC的中点，
∴EF=BF=CF．
∴∠FEC=∠FCE．
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE．
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：设P点到直线AD的距离为d，记△PAD的面积S_△PAD，
则有：S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•d=$\frac{1}{2}$PD•AC，
∴d=$\frac{PD•AC}{AD}$  ①
∵⊙O的半径为3，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，
由勾股定理得BC=6$\sqrt{3}$，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∵O，P分别是AC，BC的中点，
∴OP∥AB，
∴∠OPC=∠B=30°，
∵OE=OA，∠OAE=60°，
∴△OEA为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，
∴∠ODC=∠OPC=30°，
∴OP=OD，
∵OC⊥PD，
∴CD=PC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
将以上数据代入①得：d=$\frac{PD•AC}{AD}$=$\frac{6\sqrt{3}×6}{3\sqrt{7}}$=$\frac{12\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．