Question

17．抛物线y=ax²+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，-3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，$\frac{OE+OF}{OC}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；
（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．

解答 解：（1）①将P（1，-3），B（4，0）代入y=ax²+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，-3），
得D（-1，-3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3．
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
设OG=x，则PG=x，HG=x-1．
在Rt△PGH中，由x²=（x-1）²+3²，得x=5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{11}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{27}{16}}\end{array}\right.$．
∵P（1，-3），
∴D（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
∴点D的坐标为（-1，-3）或（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．

（2）点P运动时，$\frac{OE+OF}{OC}$是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），则at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}=\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$=amt+at²．
同理OE=-amt+at²．
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC．
∴$\frac{OE+OF}{OC}$=2．

点评 本题考查了二次函数综合题，①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键；（2）利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键．