Question

7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形．
（1）∠B=60°，a=4；
（2）a=$\sqrt{3}$-1，b=3-$\sqrt{3}$；
（3）∠A=60°，c=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据两锐角互余求得∠A，由tanB=$\frac{b}{a}$求得b，由cosB=$\frac{a}{c}$求得c；
（2）根据tanB=$\frac{b}{a}$可得∠B，由两锐角互余求得∠A，再由sinA=$\frac{a}{c}$可得c；
（3）由由两锐角互余求得∠B，由sinA=$\frac{a}{c}$可得a，由cosA=$\frac{b}{c}$可得b．

解答 解：（1）∠A=90°-∠B=90°-60°=30°．
由tanB=$\frac{b}{a}$，得 b=atanB=4tan60°=4$\sqrt{3}$．
由cosB=$\frac{a}{c}$，得 c=$\frac{a}{cosB}$=$\frac{4}{cos60°}$=8．

（2）由tanB=$\frac{b}{a}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠B=60°，∠A=90°-∠B=30°，
由sinA=$\frac{a}{c}$，得：c=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$-2；

（3）∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，
由sinA=$\frac{a}{c}$，得：a=csinA=（2+$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，
由cosA=$\frac{b}{c}$，得：b=ccosA=（2+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了直角三角形中三角函数值的运用，考查了勾股定理的运用，考查了特殊角的三角函数值，本题中根据30°角所对直角边是斜边一半的性质解题是解题的关键．