Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE⊥AB，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；
（2）利用勾股定理列式求出DE的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三种情况讨论求解．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC，
∵DE是∠ADB的角平分线，
∴DE⊥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴DE∥BC；

（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=4，
∵DE⊥AB，AD=BD，
∴BE=AE=3，
①DE=EP时，BP=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
②DP=EP时，BP=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×4=2，
③DE=DP时，过点D作DF⊥BC于F，
则DF=BE=3，
由勾股定理得，FP=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
点P在F下边时，BP=4-$\sqrt{7}$，
点P在F上边时，BP=4+$\sqrt{7}$，
综上所述，BP的值为$\sqrt{7}$，2，4-$\sqrt{7}$，4+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，难点在于（2）要分情况讨论．