Question

（2013•贺州）已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．
（1）求证：点P是线段AC的中点；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

分析：（1）连结OM，根据切线的性质得OM⊥MP，BA⊥AC，根据切线长定理得PM=PA，则∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，则PA=PC；
（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根据勾股定理计算出BC=5，然后根据正弦的定义得到sin∠C=

AB

BC

=

3

5

，于是得到sin∠PMC的值．

解答：（1）证明：连结OM，如图，
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，
∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，
而∠2=∠B，
∴∠1=∠C，
∴PC=PM，
∴PA=PC，
∴点P是线段AC的中点；

（2）解：由（1）∠PMC=∠C，
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC=

AB2+AC2

=5，
∴sin∠C=

AB

BC

=

3

5

，
即sin∠PMC=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了切线长定理、勾股定理以及解直角三角形．