Question

如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠BCA=90°，BC=3，AC=4．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求⊙O的半径；
（Ⅲ）求AF的长．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴△ABC的面积为：；

（Ⅱ）连接OE、OD，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴EB=FB，CD=CE，AD=AF，
OE⊥BC，OD⊥AC，
又∵∠C=90°，OD=OE，
∴四边形ECDO为正方形，
∴设OE=OD=CE=CD=x，
∴BE=3-x，DA=4-x；
∴FB=3-x，AF=4-x，
∴3-x+4-x=5，解得x=1．

（Ⅲ）∵CD=1，
∴AF=AD=4-1=3．
分析：（1）已知了直角三角形的两条直角边，可根据直角三角形的面积公式求出△ABC的面积．
（2）连接OE、OD，则OE、OD即为所求的半径；易证得四边形OECD是正方形，那么CE、CD都等于⊙O的半径，可用⊙O的半径分别表示出BE、AD的长，由切线长定理知BE=BF、AD=AF，即可由BF+AF=AB=5求出⊙O的半径．
（3）求得⊙O的半径后，即可求出AD的值，而AF=AD，由此得解．
点评：此题主要考查的是直角三角形的面积计算方法，以及直角三角形内切圆半径的计算方法，其中还用到了勾股定理、切线长定理等知识，难度适中．