Question

【题目】如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF=DE=EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB的最小值．

如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．

∵CA=CB，∠C=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵C，D关于AB对称，

∴DA=DB，∠DAB=∠CAB=45°，∠ABD=∠ABC=45°，

∴∠CAD=∠CBD=∠ADC=∠C=90°，

∴四边形ACBD是矩形，

∵CA=CB，

∴四边形ACBD是正方形，

∵CF=AE，CA=DA，∠C=∠EAD=90°，

∴△ACF≌△DAE（SAS），

∴AF=DE，

∴AF+BE=ED+EB，

∵CA垂直平分线段DH，

∴ED=EH，

∴AF+BE=EB+EH，

∵EB+EH≥BH，

∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH=，

∴AF+BE的最小值为2，

故答案为：2．