Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A的坐标为（2，2），点B、C在x轴上，BC=8，AB=AC，直线AC与y轴相交于点D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）求图象经过B、D、A三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，首先求出E点坐标，根据点的对称性求出B点坐标，设直线AC的解析式为：y=kx+b（k≠0），又知点A、C的坐标，即可求出D点坐标；
（2）设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0），根据题干条件求出a、b、c的值，然后求出顶点坐标．

解答：解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．
∵点A的坐标为（2，2），
∴点E的坐标为（2，0）．
∵AB=AC，BC=8，
∴BE=CE，点B的坐标为（-2，0），
点C的坐标为（6，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
将点A、C的坐标代入解析式，
得到：y=-

1

2

x+3．
∴点D的坐标为（0，3）．

（2）设二次函数解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0），
∵图象经过B、D、A三点，
∴

4a-2b+3=0 4a+2b+3=2.

解得：

a=- 1 2 b= 1 2 .

∴此二次函数解析式为：y=-

1

2

x2+

1

2

x+3．
顶点坐标为（

1

2

，3

1

8

）．

点评：本题主要考查待定系数求二次函数的解析式的知识点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．