Question

求证：不论n为怎样的整数，

n(n+1)(2n+1)

6

的计算结果都是整数．

Answer 1

分析：首先证明n（n+1）（2n+1）能被2整除，再分情况讨论证明n（n+1）（2n+1）能被3整除从而得出n（n+1）（2n+1）能被6整除．

解答：解：∵n（n+1）是两个连续的整数，必有一个偶数，
所以n（n+1）（2n+1）必定能被2整除，
现在证明他也能被3整除，
再考虑n，∵k表示整数，
①n=3k
显然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
②n=3k+1，
∴2n+1=2（3k+1）+1=6k+3=3（2k+1），能被3整除，
显然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
③n=3k+2，
n+1=3k+3能被3整除，
显然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
综上所述：
n（n+1）（2n+1）能被6整除．
即不论n为怎样的整数，

n(n+1)(2n+1)

6

的计算结果都是整数．

点评：此题主要考查了因式分解的应用，根据已知分别得出n（n+1）（2n+1）能被2整除以及n（n+1）（2n+1）能被3整除是解题关键．