【题目】已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC 边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问(2)中结论还成立吗?如果成立,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)BCEF是平行四边形;(3)成立
【解析】试题分析:(1)利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC;
(2)四边形BCEF是平行四边形,因为△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,进而证明∠ABF=∠BAC,则可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四边形BCEF是平行四边形;
(3)易证AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可证明△AFB≌△ADC;根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,进而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形.
证明:(1)∵△ABC和△ADF都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
(2)由①得△AFB≌△ADC,
∴∠ABF=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABF=∠BAC,
∴FB∥AC,
又∵BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形;
(3)成立,理由如下:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
∴∠AFB=∠ADC.
又∵∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,
∴∠ADC=∠EAF,
∴∠AFB=∠EAF,
∴BF∥AE,
又∵BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其它条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6, .求BE的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】光年是天文学中的距离单位,1光年大约是9500 000 000 000km,这个数据用科学记数表示是( )
A. 0.95×1013km B. 950×1010km C. 95×1011km D. 9.5×1012km
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