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【题目】已知△ABC是等边三角形,DBC边上的一个动点(点D不与BC重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点FBC的平行线交射线AC于点E,连接BF

1)如图1,求证:△AFB≌△ADC

2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;

3)若D点在BC 边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问(2)中结论还成立吗?如果成立,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2BCEF是平行四边形;(3)成立

【解析】试题分析:(1)利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC

2)四边形BCEF是平行四边形,因为△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,进而证明∠ABF=∠BAC,则可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四边形BCEF是平行四边形;

3)易证AF=ADAB=AC∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可证明△AFB≌△ADC;根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,进而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形.

证明:(1∵△ABC△ADF都是等边三角形,

∴AF=ADAB=AC∠FAD=∠BAC=60°

∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD∠DAC=∠BAC﹣∠BAD

∴∠FAB=∠DAC

△AFB△ADC中,

∴△AFB≌△ADCSAS);

2)由△AFB≌△ADC

∴∠ABF=∠C=60°

∵∠BAC=∠C=60°

∴∠ABF=∠BAC

∴FB∥AC

∵BC∥EF

四边形BCEF是平行四边形;

3)成立,理由如下:

∵△ABC△ADE都是等边三角形,

∴AF=ADAB=AC∠FAD=∠BAC=60°

∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD∠DAC=∠BAC﹣∠BAD

∴∠FAB=∠DAC

△AFB△ADC中,

∴△AFB≌△ADCSAS);

∴∠AFB=∠ADC

∵∠ADC+∠DAC=60°∠EAF+∠DAC=60°

∴∠ADC=∠EAF

∴∠AFB=∠EAF

∴BF∥AE

∵BC∥EF

四边形BCEF是平行四边形.

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