【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣4mx(m≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴;
(2)过点B的直线l与y轴交于点C,且tan∠ACB=2,直接写出直线l的表达式;
(3)如果点P(x1 , n)和点Q(x2 , n)在函数y=mx2﹣4mx(m≠0)的图象上,PQ=2a且x1>x2 , 求x12+ax2﹣6a+2的值.
【答案】
(1)解:当y=mx2﹣4mx=mx(x﹣4)=0时,x1=0,x2=4,
∵点A在点B的左侧,
∴A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0).
抛物线对称轴为直线:x=﹣ =2
(2)解:设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0).
当点C在y轴正半轴时,点C的坐标为(0,2),
将B(4,0)、C(0,2)代入y=kx+b中,
,解得: ,
此时直线l的表达式为y=﹣ x+2;
当点C在y轴负半轴时,点C的坐标为(0,﹣2),
将B(4,0)、C(0,﹣2)代入y=kx+b中,
,解得: ,
此时直线l的表达式为y= x﹣2.
综上所述:直线l的表达式为y=﹣ x+2或y= x﹣2
(3)解:∵点P(x1,n)和点Q(x2,n)在函数y=mx2﹣4mx(m≠0)的图象上,
∴点P与点Q关于对称轴x=2对称.
∵PQ=2a,x1>x2,
∴x1=2+a,x2=2﹣a,
∴x12+ax2﹣6a+2=(2+a)2+a(2﹣a)﹣6a+2=6.
【解析】(1)把y=0代入抛物线的解析式,解一元二次方程即可求出x的值,由点A在点B的左侧,从而得出A、A两点的坐标;(2)此题分两种情况:点C在在y轴负半轴时与点C在在y轴正半轴时,设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),由tan∠ACB=2得出C点的坐标,将B、C两点的坐标分别代入y=kx+b得出方程组,解方程组得出k,b的值即可;(3)由P、Q两点的纵坐标及都在抛物线上知点P与点Q关于对称轴x=2对称,由PQ=2a,x1>x2,得x1=2+a,x2=2﹣a,代入x12+ax2﹣6a+2即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】阅读下列材料解决问题:
材料:古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1,3,6,10,15,21…这些数量的(石子),都可以排成三角形,则称像这样的数为三角形数.
把数 1,3,6,10,15,21…换一种方式排列,即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
从上面的排列方式看,把1,3,6,10,15,…叫做三角形数“名副其实”.
(1)设第一个三角形数为a1=1,第二个三角形数为a2=3,第三个三角形数为a3=6,请直接写出第n个三角形数为an的表达式(其中n为正整数).
(2)根据(1)的结论判断66是三角形数吗?若是请说出66是第几个三角形数?若不是请说明理由.
(3)根据(1)的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由.
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【题目】为了解某校学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况,随机抽取了m学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目),将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图(如图1和图2):
根据统计图提供的信息,回答下列问题;
(1)m= ,n= ;
(2)扇形统计图中,喜爱《最强大脑》节目所对应的扇形的圆心角度数是 度.
(3)根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图;
(4)根据抽样调查结果,请你估计该校6000名学生中有多少学生最喜欢《中国诗词大会》节目.
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【题目】探究学习:
(1)感知与填空
如图,直线.求证:.
阅读下面的解答过程,并填上适当的理由.
解:延长交于,
∵(已知),∴( )
∵( ),
∴(等量代换)
(2)应用与拓展
如图,直线.若,,,则______度.
(3)方法与实践
如图,直线.请探究,和之间有怎样的关系,并证明你的结论.
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【题目】在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:CH与AB是否垂直?)请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线AC的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒3cm,设运动的时间为t秒.
(1)当t= 时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分?
(2)当t= 时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分?
(3)当t为何值时,△BCP的面积为18?
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【题目】解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式维的解集为 .
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【题目】甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x﹣4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.
(1)当a=﹣ 时,①求h的值;
②通过计算判断此球能否过网.
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.
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