Question

在△ABC中，已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a、b为关于x的方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根，在AB上取一点D，作DE⊥AC于E，若DE=BD，

BC

AC

=

3

4

，求AE的长．

Answer 1

分析：根据一元二次方程根与系数的关系，因为a、b关于x的方程的根，得出a、b、c的关系来判断三角形的类型，然后根据此条件为基础来求要求的值．

解答：解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
a+b=c+4，ab=4c+8
那么（a+b）²=a²+b²+2ab=a²+b²+2（4c+8）=（c+4）²
a²+b²=c²
那么△ABC为直角三角形，且∠C为直角，那么DE∥BC，
根据：

BC

AC

=

3

4

，

a

b

=

3

4

，设a=3x，b=4x，c=5x，那么a+b=7x=c+4=5x+4
x=2．所以a=6，b=8，c=10．
设DE=m，根据DE∥BC，得：

AD

EC

=

AB

BC

，根据DE=BD，AD=AB-BD=AB-DE，那么

AE

AC

=

DE

BC

，m=

15

4

；
由

AE

AC

=

DE

BC

，即

AE

8

=

m

6

，AE=5，
答：AE的长为5．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直角三角形的特点，相似三角形的特点等知识点，要根据题意灵活运用．