Question

13．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB=5，由于∠PAQ=∠BAC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$时，△APQ∽△ABC，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{4}$；当$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△ACB，即$\frac{5-t}{4}$=$\frac{2t}{5}$，然后分别解方程求出t即可．

解答 解：∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
则BP=t，AQ=2t，AP=5-t，
∵∠PAQ=∠BAC，
当$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$时，△APQ∽△ABC，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{4}$，解得t=$\frac{10}{7}$；
当$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△ACB，即$\frac{5-t}{4}$=$\frac{2t}{5}$，解得t=$\frac{25}{13}$；
答：t为$\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用代数式表示相应线段长是解决动点问题的关键．