Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断△DHF的形状，并说明理由；
②求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由OD∥AC，推出∠CAD=∠ODA，由OA=OD，推出∠OAD=∠ODA，即可证明；
（2）①结论：△DHF是等腰直角三角形．只要证明∠DHF=∠DFH，即可证明；
②设DF=x，由①可知DH=DF=x，由△DFG∽△DAF，推出$\frac{DF}{AD}$=$\frac{DG}{DF}$，可得$\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{x}$，推出x=2，DF=2，AD=4，再根据勾股定理即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD．
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．


（2）解：①△DHF是等腰直角三角形．
理由：∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
∵∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH，
∵AF是直径，
∴∠ADF=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形．

②设DF=x，由①可知DH=DF=x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2x，
∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，
∴△DFG∽△DAF，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{DG}{DF}$，
∴$\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{x}$，
∴x=2，
∵DF=2，AD=4，
∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
∴AF=$\sqrt{D{F}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．