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已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A,B两点,A(-1,0).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A,D,B,E,点P为线段AB上一个动点(P与A,B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断数学公式是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE,BE相交于点F,G(F与A,E不重合,G与E,B不重合),请判断数学公式是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3
将A(-1,0)代入:0=a(-1-1)2-3,
解得a=
所以,抛物线的解析式为y=(x-1)2-3,即y=x2-x-

(2)是定值,=1
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,
∵PM⊥AE,
∴PM∥BE,
∴△APM∽△ABE,
所以
同理:
①+②:

(3)∵直线EC为抛物线对称轴,
∴EC垂直平分AB,
∴EA=EB,
∵∠AEB=90°,
∴△AEB为等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=45°
如图,过点P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形.
∴PH=ME且PH∥ME.
在△APM和△PBH中,
∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
∴PH=BH,且△APM∽△PBH,


在△MEP和△EGF中,
∵PE⊥FG,
∴∠FGE+∠SEG=90°,
∵∠MEP+∠SEG=90°,
∴∠FGE=∠MEP,
∵∠PME=∠FEG=90°,
∴△MEP∽△EGF,

由①、②知:(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)
分析:(1)已知抛物线的顶点坐标就可以利用顶点式求函数的解析式.
(2)AB是圆的直径,因而∠ADB=∠AEB=90°,得到PN∥AD,得到=,同理=,这样就可以求出的值.
(3)易证△AEB为等腰直角三角形,过点P作PH⊥BE与H,四边形PHEM是矩形,易证△APM∽△PBH,则,再证明△MEP∽△EGF,则因而可证.
点评:本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及相似三角形的对应边的比相等.
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已知:抛物线y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边.
(1)求证:抛物线与x轴必有两个不同交点;
(2)设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点,与y轴交于点M,抛物线与y轴交于点N,若抛物线的对称轴为x=a,△MNE与△MNF的面积比为5:1,求证:△ABC是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,设△ABC的面积为
3
,抛物线与x轴交于点P、Q,问是否精英家教网存在过P、Q两点且与y轴相切的圆?若存在,求出圆的圆心坐标,若不存在,请说明理由.

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(1)求证:抛物线与直线一定有两个不同的交点;
(2)设抛物线与直线的两个交点为A、B,过A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1、B1.令k=
c
a
,试问:是否存在实数k,使线段A1B1的长为4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

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(2013•贵阳)已知:直线y=ax+b过抛物线y=-x2-2x+3的顶点P,如图所示.
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(-1,4)
(-1,4)

(2)若直线y=ax+b经过另一点A(0,11),求出该直线的表达式;
(3)在(2)的条件下,若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称,求直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标.

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已知:抛物线数学公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边.
(1)求证:抛物线与x轴必有两个不同交点;
(2)设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点,与y轴交于点M,抛物线与y轴交于点N,若抛物线的对称轴为x=a,△MNE与△MNF的面积比为5:1,求证:△ABC是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,设△ABC的面积为数学公式,抛物线与x轴交于点P、Q,问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆?若存在,求出圆的圆心坐标,若不存在,请说明理由.

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