Question

20．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）抛物线经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-6）即可求得函数的解析式；
（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，m²-5m-6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．
（3）分三种情况画图：①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q₁和Q₄，有两个符合条件的Q₁和Q₄；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的Q₂和Q₅；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q₃，有一个符合条件的Q₃；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q₃坐标．

解答 解：（1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，
a=1，
∴y=（x+1）（x-6）=x²-5x-6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m²-5m-6），四边形PACB的面积为S，
则PM=-m²+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S_△AMP+S_梯形PMNB+S_△BNC，
=$\frac{1}{2}$（-m²+5m+6）（m+1）+$\frac{1}{2}$（6-m²+5m+6）（5-m）+$\frac{1}{2}$×1×6，
=-3m²+12m+36，
=-3（m-2）²+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m²-5m-6=2²-5×2-6=-12，
∴P（2，-12），
（3）这样的Q点一共有5个，
①以A为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q₁、Q₄，则AQ₁=AQ₄=AB，
设对称轴交x轴于E，
y=x²-5x-6=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{49}{4}$；
∴抛物线的对称轴是：x=$\frac{5}{2}$，
∵A（-1，0），B（5，-6），
∴AB=$\sqrt{（5+1）^{2}+（-6-0）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$，
由勾股定理得：Q₁E=Q₄E=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{239}}{2}$，
∴Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{239}}{2}$），Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{239}}{2}$）
②以B为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q₂、Q₅，
∴Q₂E=Q₅E=AB=6$\sqrt{2}$，
过B作BF⊥Q₁Q₅于F，则Q₂F=Q₅F，
∵B（5，-6），
∴BF=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：Q₂F=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{263}}{2}$，
∴Q₅E=$\frac{\sqrt{263}}{2}$+6=$\frac{\sqrt{263}+12}{2}$，
∴Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{263}+12}{2}$），
∵Q₂E=$\frac{\sqrt{263}}{2}$-6=$\frac{\sqrt{263}-12}{2}$，
∴Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{263}-12}{2}$），
③连接Q₃A、Q₃B，
因为Q₃在对称轴上，所以设Q₃（$\frac{5}{2}$，y），
∵△Q₃AB是等腰三角形，且Q₃A=Q₃B，
由勾股定理得：（$\frac{5}{2}$+1）²+y²=（$\frac{5}{2}$-5）²+（y+6）²，
y=-$\frac{5}{2}$，
∴Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
综上所述，点Q的坐标为：∴Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{239}}{2}$），Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{263}-12}{2}$），Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$），Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{239}}{2}$），Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{263}+12}{2}$），

点评 本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；
还要注意求最大值可以借助于二次函数．同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．