Question

20．观察探究，解决问题．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．
（1）如图1，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）请你探究并填空：
①当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；
②当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是菱形；
③当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是正方形；
（3）如图2，当中点四边形EFGH为矩形时，对角线EG与FH相交于点O，P为EH上的动点，过点P作PM⊥EG，PN⊥FH，垂足分别为M、N，若EF=a，FG=b，请判断PM+PN的长是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．①若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；②若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；③若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；
（3）利用△EOH的面积是矩形的四分之一和分割成△POE，△POF的面积之和来算，建立方程即可．

解答 解：（1）连接AC，如图1，

在△DAC中，HG∥AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC，
在△BAC中，EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）①在△DAC中，HG∥AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC，
在△BAC中，EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为平行四边形，
②由（1）有，四边形EFGH是平行四边形．
同（1）的方法得，EH=$\frac{1}{2}$BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD
∴EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形；
故答案为菱形，
③由（2）②有，四边形EFGH是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠EFG=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
故答案为正方形，
（3）如图，

连接PO，
在矩形EFGH中：EO=HO=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵S_△EOH=$\frac{1}{4}$S_{四边形EFGH}=$\frac{1}{4}$ab=S_△POE+S_△POH，
∴$\frac{1}{2}$PM×EO+$\frac{1}{2}$PN×HO=$\frac{1}{4}$ab，
∴$\frac{1}{4}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$（PM+PN）=$\frac{1}{4}$ab，
∴PM+PN=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
故PM+PN是定值．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线的性质，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解本题的关键是判断四边形EFGH是平行四边形，难点是△EOH的分割法求三角形的面积．