Question

【题目】如图，直线AB的解析式为，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．

求抛物线的解析式；

如图，当点P在第一象限内的抛物线上时，求面积的最大值，并求此时点P的坐标；

过点A作直线轴，过点P作于点H，将绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；（2）当时，面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为；（3）P点坐标为或；

【解析】

（1）先利用直线进行确定则A（0，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）连接OP，设P（m，-m2+m+4），解方程x+4=0得B（3，0），根据三角形面积公式，利用面积的和差得到S△ABP=S△AOP+S△POB-S△AOB=4m+3（-m2+m+4）-34，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）先利用勾股定理计算出AB=5，讨论：当点P′落在x轴上，如图2，根据旋转的性质得P′H′=PH=4-（-m2+m+4）=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，再证明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′=m2-m，然后利用AH′+BH′=AB得到m+m2-m=5，解方程求出m即可得到P点坐标；当点P′落在y轴上，如图3，同理可得P′H′=PH=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，通过证明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2-m）：3=m：4，然后解关于m的方程即可得到对应P点坐标．

解：当时，，则，

把，代入得，解得，

抛物线解析式为；

连接OP，设，

当时，，解得，则，

，

，

当时，面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为；

在中，，

当点落在x轴上，如图2，

绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x轴上

，，，

，

∽，

：：OB，即：：3，

，

，

，解得，舍去，此时P点坐标为；

当点落在y轴上，如图3，

同理可得，，，

，

∽，

：：AO，即：：4，

整理得，解得，舍去，此时P点坐标为；

综上所述，P点坐标为或；