Question

3．如图1，已知AB=3，BC=4，AB⊥BC，AG∥BC，将一个直角的顶点置于点C，并将它绕着点C旋转，两条直角边分别交射线AG于点D，交AB的延长线于点E，联结DE交BC于点F，设BE=x．
（1）当∠DCB=60°时，求BE的长；
（2）若AD=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）旋转过程中，若DC=FC，求此时BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明，∠CBE=90°，∠BCE=30°，根据tan30°=$\frac{BE}{BC}$，即可解决问题．
（2）如图2中，作DM⊥BC于M．只要证明△DCM∽△CEB，得$\frac{DM}{CB}$=$\frac{CM}{EB}$，由此即可解决问题．
（3）先证明∠EDA=∠EDC，由EA⊥DA，EC⊥DC，推出EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，根据EC²=BE²+BC²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵∠DCE=90°，∠DCF=60°，
∴∠BCE=30°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBE=90°，
∴tan30°=$\frac{BE}{BC}$，
∴BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

（2）如图2中，作DM⊥BC于M．

∵AG∥BC，AB⊥BC，
∴AG⊥AB，
∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°，
∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE，
∴△DCM∽△CEB，
∴$\frac{DM}{CB}$=$\frac{CM}{EB}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{4-y}{x}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x-4，（0≤x≤$\frac{16}{3}$）．

（3）如图3中，

∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∵AG∥BC，
∴∠CFD=∠ADF，
∴∠EDA=∠EDC，
∵EA⊥DA，EC⊥DC，
∴EA=EC=x+3，
在Rt△BCE中，∵EC²=BE²+BC²，
∴（x+3）²=x²+4²，
∴x=$\frac{7}{6}$，
∴BE=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．