Question

【题目】如图，直线l：y＝x+2与直线l：y＝kx+b相交于点P（1，m）

（1）写出k、b满足的关系；

（2）如果直线l：y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形，试求直线l的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设直线l与x轴相交于点A，点Q是x轴上一动点，求当△APQ是等腰三角形时的Q点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）k+b＝3；（2）y＝﹣x+4；（3）点Q的坐标为：（4±3，0）或Q（﹣2，0）或（1，0）．

【解析】

（1）将点P的坐标代入y＝x+2并解得m＝3，得到点P（1，3）；将点P的坐标代入y＝kx+b，即可求解；

（2）由y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形可求出直线的k值为﹣1，然后代入P点坐标求出b即可；

（3）分AP＝AQ、AP＝PQ、PQ＝AQ三种情况，分别求解即可．

解：（1）将点P的坐标代入y＝x+2可得：m＝1+2＝3，故点P（1，3），

将点P的坐标代入y＝kx+b可得：k+b＝3；

（2）∵y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形，

∴设该直线的函数图象与x轴，y轴分别交于点（a，0），（0，a），其中a＞0，

将（a，0），（0，a），代入得：ak+b=0，b=a，

∴ak+a=0，即a(k+1)=0，

∴k＝﹣1，即y＝﹣x+b，

代入P（1，3）得：﹣1+b＝3，解得：b＝4，

∴直线l2的表达式为：y＝﹣x+4；

（3）设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（1，3），

∴AP＝，

当AP＝AQ时，则点Q（4±3，0）；

当AP＝PQ时，则点Q（﹣2，0）；

当PQ＝AQ时，即（1﹣m）2+9＝（4﹣m）2，解得：m＝1，即点Q（1，0）；

综上，点Q的坐标为：（4±3，0）或Q（﹣2，0）或（1，0）．