Question

17．已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是2x+1．（用含有x的代数式表示）

Answer 1

分析 延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM=∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD=∠EPD=90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B=∠E，PB=EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA=∠B，进而可得：∠E=∠ECA，然后根据等角对等边可得AE=AC，进而可得PB=PE=EA+AP=AC+AP，然后将AC=x，AP=x+1，代入即可得到PB的长．

解答 解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，
∵M是弧CAB的中点，
∴∠BDM=∠CDM，
∵MP垂直于弦AB于P，
∴∠BPD=∠EPD=90°，
在△DPE和△DPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BPD=∠EPD}\\{PD=PD}\\{∠BDP=∠EDP}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△DPB（ASA），
∴∠B=∠E，PB=EP，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ECA=∠B，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC，
∴PB=PE=EA+AP=AC+AP，
∵AC=x，AP=x+1，
∴PB=2x+1．
故答案为：2x+1．

点评 此题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，对角互补．解题的关键是：添加适当的辅助线构造圆内接四边形．