Question

已知如图，AD∥BC，∠ABC=90^o，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45^o，连接ED，过D作DF⊥BC于F.

（1）若∠BEC=75^o，FC=4，求梯形ABCD的周长。（4分）
（2）求证：ED=BE+FC.（6分）

Answer 1

（1）12+4 （2）通过证明△DEC≌△EGC（AAS），得ED="EG" 从而得ED="BE+FC"

试题分析：

（1）∵∠ABC=90^o，∠BEC=75^o，
∴∠ECB=15^o，∵∠ECD=45^o，∴∠DCF=60^o
在Rt△DFC中：∠DCF=60^o，FC=4， ∴DF=4，DC="8"
由题得，四边形ABFD是矩形∴AB=DF=4，
∵AB=BC，∴BC=4，
∴BF=BC－FC=4－4，∴AD=BF=4－4
∴梯形ABCD的周长为：4+4+8+4－4=12+4
（2）延长EB至G，使BG=CF，连接CG
∵∠CBG=∠DFC=90^o，DF="AB=BC" ∴△CBG≌△DFC（SAS）
∴∠CDF=∠GCB，∵∠CDF+∠DCF=90^o，∴∠GCB+∠DCF=90^o
∵∠DCE=45^o，∴∠ECG=45^o
∴∠DCE=∠ECG ∴△DEC≌△EGC（AAS），∴ED="EG"
∴ED="BE+FC"
点评：本题考查矩形，梯形、全等三角形，解答本题需要考生熟悉矩形的性质，梯形的性质，掌握三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质