Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）．

【解析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．

解：（1）由题意可知： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC

∵BC是定值，

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，

∵点A、点B关于对称轴I对称，

∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点

∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC

∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

∴AC=3，BC=；

（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）

∵A（﹣3，0）

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，

∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）

∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3

∴S=S△DEF+S△AEF=EFGH+EFAC=EFAH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；

②S=﹣m2﹣4m﹣3

=﹣（m+2）2+1；

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1

此时点E的坐标为（﹣2，2）．

“点睛”此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．