Question

已知：m、n是方程x²－6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝－x²+bx+c的图像经过点A(m，0)、B(0，n).

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标.

Answer 1

（1）解方程x²－6x+5＝0得x₁＝5，x₂＝1，由m＜n，有m＝1，n＝5，所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）.将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝－x²+bx+c.得解这个方程组，得所以，抛物线的解析式为y＝－x²－4x+5.

（2）由y＝－x²－4x+5，令y＝0，得－x²－4x+5＝0.解这个方程，得x₁＝－5，x₂＝1，所以C点的坐标为（－5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）.过D作x轴的垂线交x轴于M.则S_△DMC＝×9×(5－2)＝，S_梯形MDBO＝×2×(9+5)＝14，S_△BOC＝×5×5＝，所以S_△BCD＝S_梯形MDBO+ S_△DMC－S_△BOC＝14+－＝15.

（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y＝x+5.那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a+5)，PH与抛物线y＝－x²－4x+5的交点坐标为H(a，－a²－4a+5).由题意，得①EH＝EP，即(－a²－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解这个方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；②EH＝EP，即(－a²－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解这个方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；即P点的坐标为 (－，0)或 (－，0).