Question

6．如图，已知等边△ABC中，AB=8，D为AB上一点，BD=2，E为BC上一点（E不与点B和C重合）
（1）作∠DEF=60°，交AC于点F，如图1
①若BE=2，求CF的长
②设BE=x，CF=y，试求y关于x的函数关系式并求y的取值范围；
（2）如图2，若BE=6，过A、D、E三点作圆交AC于点G，试求CG的长．

Answer 1

分析 （1）①根据等边三角形的性质得AB=BC=8，∠B=∠C=60°，则利用BD=BE=2可判断△BDE为等边三角形，得到∠BED=60°，于是可判断△CEF为等边三角形，所以CF=CE=CB-BE=6；
②BE=x，则CE=8-x，利用∠BED+∠CEF=60°，∠BED+∠BDE=60°，可得∠CEF=∠BDE，则可判断△BED∽△CEF，利用相似比可得y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，接着利用配方法得y=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，根据二次函数的性质可得0＜y＜8；
（2）连结EG，作EH⊥CG于H，截取HF=HG，如图2，则EF=EG，根据等腰三角形的性质得∠EGF=∠EFG，再利用圆内接四边形的性质得∠EGF=∠ADE，则∠ADE=∠EFG，于是根据等角的补角相等得∠BDE=∠CFE，所以可判断△BED∽△CEF，利用相似比可计算出CF=$\frac{2}{3}$，然后在Rt△CEH中利用含30度的直角三角形可计算出CH=$\frac{1}{2}$CE=1，则HF=CH-CF=$\frac{1}{3}$，所以GH=HF=$\frac{1}{3}$，易得CG=$\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=8，∠B=∠C=60°，
而BD=BE=2，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BED=60°，
∵∠DEF=60°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CF=CE=CB-BE=8-2=6；
②BE=x，则CE=8-x，
∴∠BED+∠CEF=60°，
而∠BED+∠BDE=60°，
∴∠CEF=∠BDE，
而∠B=∠C，
∴△BED∽△CEF，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{8-x}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
∵y=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，当x=4时，y有最大值8，
∴0＜y＜8；
（2）连结EG，作EH⊥CG于H，截取HF=HG，如图2，则EF=EG，
∴∠EGF=∠EFG，
∵∠EGF=∠ADE，
∴∠ADE=∠EFG，
∴∠BDE=∠CFE，
而∠B=∠C，
∴△BED∽△CEF，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{BD}{CF}$，即$\frac{6}{2}$=$\frac{2}{CF}$，
∴CF=$\frac{2}{3}$，
在Rt△CEH中，∵∠C=60°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴HF=CH-CF=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴GH=HF=$\frac{1}{3}$，
∴CG=CF+FH+GH=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质；会利用相似比计算线段的长．（2）问中构造一个三角形与△BDE相似是解决问题的关键．