Question

8．（1）如图（1），在△ABC中，AB=15，AC=13，BC=14，则BC边上的高AD为12，S_△ABC=84．
（2）如图（2），点E是边AB上一动点，点E从点B出发运动到点A为止，过点A、B作直线CE的垂线，垂足分别为M、N，设CE=x，AM+BN=y．
①点E从B运动到A时，描述出x的变化情况，并求出y与x的函数关系式以及x取值范围．
②y是否存在最大值或最小值，如果存在，请直接写出y的最大值或者最小值，若不存在，请说明理由．
（3）若x值确定时，有时可能对应存在两个不同的点E的位置，请直接写出x的取值范围．
（4）设点A、B、C到任意一条直线的距离分别记作a、b、c，则直接写出a+b+c的最小值，并指出这条直线的位置．

Answer 1

分析 （1）设CD=x，则BD=14-x，根据AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，列出方程即可解决问题；
（2）设AM=m，NN=n，由三角形面积公式得出：S_△ABE=$\frac{1}{2}$mx，S_△CBE=$\frac{1}{2}$nx；因为m=$\frac{2{•S}_{△ABE}}{x}$，n=$\frac{2{•S}_{△BCE}}{x}$，推出y=m+n=$\frac{2{•S}_{△ABE}}{x}$+$\frac{2{•S}_{△BCE}}{x}$=$\frac{168}{x}$，
∴y=$\frac{168}{x}$由AB边上的高为：$\frac{2{•S}_{△ABC}}{15}$=$\frac{2×84}{15}$=$\frac{56}{6}$，可得x的取值范围为：$\frac{56}{5}$≤x≤14，由此即可解决问题；
（3）由题意x值确定时，有时可能对应存在两个不同的点E的位置，观察图象可知x的取值范围是$\frac{56}{5}$＜x≤13；
（4）因为AB＞BC＞AC，所以过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AB所在的直线，由此即可解决问题；

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=15，AC=13，BC=14，设CD=x，则BD=14-x，
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴15²-（14-x）²=13²-x²，
∴x=5，
∴AD=12，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×14=84；
故答案为：12，84；

（2）设AM=m，BN=n，
由三角形面积公式得出：S_△ABE=$\frac{1}{2}$mx，S_△CBE=$\frac{1}{2}$nx；
∵m=$\frac{2{•S}_{△ABE}}{x}$，n=$\frac{2{•S}_{△BCE}}{x}$，
∴y=m+n=$\frac{2{•S}_{△ABE}}{x}$+$\frac{2{•S}_{△BCE}}{x}$=$\frac{168}{x}$，
∴y=$\frac{168}{x}$
∵AB边上的高为：$\frac{2{•S}_{△ABC}}{15}$=$\frac{2×84}{15}$=$\frac{56}{6}$，
∴x的取值范围为：$\frac{56}{5}$≤x≤14，
∵y随x的增大而减小，
∴x=$\frac{56}{5}$时，y的最大值为：15；
当x=14时，y的最小值为12；

（3）由题意x值确定时，有时可能对应存在两个不同的点E的位置，观察图象可知x的取值范围是$\frac{56}{5}$＜x≤13，

（4）∵AB＞BC＞AC，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AB所在的直线，
∴此时a=0，b=0，c=$\frac{56}{5}$，
∴a+b+c的最小值为$\frac{56}{5}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，本题综合性较强，有一定难度．