Question

如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上的一动点，CD的垂直平分线分别交CD、AD于点E、B．
（1）请直接写出线段CD长度的取值范围；
（2）当线段CD长为多少时，AC∥EB？
（3）△ABC能否是直角三角形？若能，请求AB的长，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）CD最长时，CD=AD+⊙A的半径；CD最短时，CD=AD+⊙A的半径；
（2）由平行线的性质得到CD是⊙A的切线时，AC∥EB；由勾股定理来求CD的长度；
（3）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得AB的值．

解答：解：（1）当点C是DA的延长线与⊙A的交点时，CD最长，其长度为5+1=6；
当点C是AD与⊙A的交点时，CD最短，其长度为5-1=4；
所以CD的取值范围是：4≤CD≤6；

（2）如图，∵BE是CD的垂直平分线，
∴BE⊥CD．
又∵AC∥EB，
∴AC⊥CD．
∴在直角△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

52-12

=2

6

，即当CD的长度为2

6

时，AC∥EB；

（3）∵BE是CD的垂直平分线，
∴BC=BD．
∵△ABC为直角三角形，
若AB是斜边，则AB²=AC²+BC²，
即AB²=（5-AB）²+1，
∴x=2.6；
若BC是斜边，则BC²=AB²+AC²，
即（5-AB）²=AB²+1，
∴AB=2.4．
故答案为：2.6或2.4．

点评：此题考查了圆的综合题，其中涉及到了线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．