Question

2．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠AEF=90°，以EC为直径的⊙O与AD相切，则tan∠AFE的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 如图，连接DE，设⊙O与AD相切于点M，先证明∠AFE=∠ADE=∠DEC，再证明四边形OMDC是正方形，根据tan∠AFE=tan∠DEC=$\frac{DC}{EC}$即可解决．

解答 解：如图，连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AD∥BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEF+∠ADF=180°，
∴A、E、F、D四点共圆，
∴∠ADE=∠AFE=∠EDC，
设⊙O与AD相切于点M，
∵∠OMD=∠MDC=∠DCO=90°，
∴四边形OMDC是矩形，
∵OM=OC，
∴四边形OMDC是正方形，
∴CD=OM=OC，
∴tan∠AFE=tan∠DEC=$\frac{DC}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查切线的性质、矩形的性质、四点共圆、三角函数等知识，解题的关键是证明∠AFE=∠DEC，这里用了四点共圆的性质，属于中考常考题型．